Question

【題目】將正整數(shù)1，2，…，10填于正五角星的十個(gè)頂點(diǎn)處，使得每條直線(xiàn)上所填四個(gè)數(shù)之和相等，問(wèn)：這種填數(shù)方案是否存在?若存在，請(qǐng)給出填數(shù)方案的個(gè)數(shù)（經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)或?qū)ΨQ(chēng)之后能重合的方案視為同一種方案）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

若存在滿(mǎn)足要求的填數(shù)方案，則每條直線(xiàn)上的四個(gè)數(shù)之和為．

如圖，令五角星外頂點(diǎn)所填數(shù)分別為，，…，，

對(duì)應(yīng)的內(nèi)頂點(diǎn)所填數(shù)分別為，，…，．

則（）此處下角標(biāo)取模5非負(fù)剩余．

若是一種填數(shù)方案，作互補(bǔ)變換，則也是一種不同的填數(shù)方案．

注意到，10必須與1、2均共線(xiàn)，9必須與1共線(xiàn)．

否則，10所在的兩條直線(xiàn)上的數(shù)之和，矛盾．

若1填在內(nèi)頂點(diǎn)處，不妨設(shè)，再由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)．

由，，，

知，，且．

經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，方案不存在．

若1填在外頂點(diǎn)處，不妨設(shè)．

若10填在內(nèi)頂點(diǎn)處，則作上述互補(bǔ)變換，便得到一個(gè)有1填在內(nèi)頂點(diǎn)處的方案．

于是，10也填在外頂點(diǎn)處．

又，于是或．

不妨假設(shè)，，經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)的填數(shù)方案也不存在．

綜上，不存在滿(mǎn)足要求的填數(shù)方案．