Question

已知異面直線a，b所成的角為50°，P為空間一定點(diǎn)，過點(diǎn)P且與a，b所成的角相等的直線有4條，則過點(diǎn)P的直線與直線a所成角的范圍是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：為了討論：過點(diǎn)O與a、b所成的角都是θ（0°≤θ≤90°）的直線l有且僅有幾條，先將涉及到的線放置在同一個(gè)平面內(nèi)觀察，只須考慮過點(diǎn)O與直線a₁、b₁所成的角都是θ（0°≤θ≤90°）的直線l有且僅有幾條即可，再利用cosθ=cosθ₁•cosθ₂．進(jìn)行角之間的大小比較即得．

解答： 解：過點(diǎn)O作a₁∥a，b₁∥b，則相交直線a₁、b₁確定一平面α．a(chǎn)₁與b₁夾角為50°或130°，
設(shè)直線OA與a₁、b₁均為θ角，
作AB⊥面α于點(diǎn)B，BC⊥a₁于點(diǎn)C，BD⊥b₁于點(diǎn)D，
記∠AOB=θ₁，∠BOC=θ₂（θ₂=25°或65°），則有cosθ=cosθ₁•cosθ₂．
因?yàn)?°≤θ₁≤90°，
所以0≤cosθ≤cosθ₂．
當(dāng)θ₂=25°時(shí)，由0≤cosθ≤cos25°，得25°≤θ≤90°；
當(dāng)θ₂=65°時(shí)，由0≤cosθ≤cos65°，得65°≤θ≤90°．
故當(dāng)θ＜25°時(shí)，直線l不存在；
當(dāng)θ=25°時(shí)，直線l有且僅有1條；
當(dāng)25°＜θ＜65°時(shí)，直線l有且僅有2條；
當(dāng)θ=65°時(shí)，直線l有且僅有3條；
當(dāng)65°＜θ＜90°時(shí)，直線l有且僅有4條；
當(dāng)θ=90°時(shí)，直線l有且僅有1條．
故答案為：65°＜θ＜90°

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了異面直線及其所成的角，以及空間想象力、轉(zhuǎn)化思想方法，屬于基礎(chǔ)題．