Question

求函數(shù)f（x）=x²+2xcosθ+1，x∈[-

3

2

，

1

2

]．
（1）當θ=

π

3

時，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）在區(qū)間[-

3

2

，

1

2

]上是單調遞增函數(shù)，θ∈R，求θ的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）利用三角函數(shù)種特殊角的特殊函數(shù)值，得到f（x），求出對稱軸，然后根據(jù)所告訴的區(qū)間，求出最值，距離對稱軸越遠，值越大．
（2）需要分類討論，當cosθ=0時，不滿足條件，當cosθ≠0，再根據(jù)對稱軸求的cosθ的范圍，繼而求出θ的范圍．

解答： 解：（1）∵θ=

π

3

時，則cos

π

3

=

1

2

∴f（x）=x²+x+1，開口向上，對稱軸為x=-

1

2

，
∴f（x）在[-

3

2

，-

1

2

]為減函數(shù)，在[-

1

2

，

1

2

]為增函數(shù)，
∴當x=-

1

2

，f（x）_min=f（-

1

2

）=

3

4

，
當x=

1

2

，f（x）_max=f（

1

2

）=

7

4

，
（2）當cosθ=0時，f（x）=x²+1，在[-

3

2

，0）上到單調遞減，在[0，

1

2

]單調遞增，
∵f（x）在區(qū)間[-

3

2

，

1

2

]上是單調遞增函數(shù)，
∴cosθ=0不成立，
即cosθ≠0，
∵f（x）=x²+2xcosθ+1，x∈[-

3

2

，

1

2

]．
∴對稱軸為x=-cosθ，
∴-cosθ≤-

3

2

，
即cosθ≥

3

2

，
∴2kπ-

π

6

≤θ≤2kπ+

π

6

，
故θ的取值范圍為[2kπ-

π

6

，2kπ+

π

6

]．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的單調性，關鍵是求出對稱軸，以及觀察開口的方向，以及三角函數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．