Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為8的正方形（記為Q）．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)點P是直線x=﹣4與x軸的交點，過點P的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，當線段MN的中點落在正方形Q內(nèi)（包括邊界）時，求直線l斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】

【解析】試題分析:（I）設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)正方形的面積求出橢圓中參數(shù)a的值且判斷出參數(shù)b，c的關(guān)系，根據(jù)橢圓的三個參數(shù)的關(guān)系求出b，c的值得到橢圓的方程．

（II）設(shè)出直線的方程，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用二次方程的韋達定理得到弦中點的坐標，根據(jù)中點在正方形的內(nèi)部，得到中點的坐標滿足的不等關(guān)系，求出k的范圍．

解：（Ⅰ）依題意，設(shè)橢圓C的方程為，焦距為2c，

由題設(shè)條件知，a2=8，b=c

所以=4，

故橢圓的方程為；

（II）橢圓C的左準線方程為x=﹣4，所以點P的坐標為（﹣4，0）

顯然直線l的斜率存在，所以設(shè)直線l的方程為y=k（x+4）

設(shè)點M，N的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），線段MN的中點為G（x0，y0）

由直線代入橢圓方程得（1+2k2）x2+16k2x+32k2﹣8=0．①

由△=（16k2）2﹣4（1+2k2）（32k2﹣8）＞0解得﹣＜k＜．②

因為x1，x2是方程①的兩根，

所以x1+x2=﹣，于是x0==﹣，y0=．

因為x0==﹣≤0，所以點G不可能在y軸的右邊，

又直線F1B2，F1B1方程分別為y=x+2，y=﹣x﹣2

所以點G在正方形Q內(nèi)（包括邊界）的充要條件為，即

解得，此時②也成立．

故直線l斜率的取值范圍是．