Question

已知函數y=4^x+3×2^x+3，當其值域為[1，7]時，求x的取值范圍．

Answer 1

考點：指數型復合函數的性質及應用

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：令t=2^x（t＞0），可得y=t²+3t+3，由函數的值域為[1，7]，得1≤t²+3t+3≤7，解出0＜t≤1．再將t還原成2^x，最后解關于x的不等式，即可得到實數x的取值范圍．

解答： 解：令t=2^x，可得y=4^x+3•2^x+3=t²+3t+3，（t＞0）
∵函數的值域為[1，7]，
∴解不等式1≤t²+3t+3≤7，可得

t2+3t+2≥0 t2+3t-4≤0

，即有

t≥-1或t≤-2 -4≤t≤1

解此不等式組，由t＞0，得0＜t≤1，
∴0＜2^x≤1，即0＜2^x≤2⁰，
因此，x的取值范圍是（-∞，0]．

點評：本題給出含有指數式的“類二次”函數，在已知值域的情況下求x的取值范圍，著重考查了指數函數、二次函數的圖象與性質和不等式的解法等知識，屬于中檔題．