Question

平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（2，0）的距離比它到直線x+3=0的距離少1
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F（2，0）作一條傾斜角為α的直線，交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)是M，直線OM的斜率k_OM=f（α），求k_OM=f（α）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由拋物線定義可判斷曲線為拋物線，從而可知p=2，得到方程；
（2）設(shè)直線AB：my=x-2，代入y²=8x，得y²-8my-16=0，利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式可表示M坐標(biāo)，進(jìn)而表示k_OM=f（α），分m=0，m＞0，m＜0三種情況討論，然后運(yùn)用基本不等式可求斜率范圍；

解答： 解：（1）由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)、x=-2為準(zhǔn)線的拋物線，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是y²=8x；
（2）設(shè)直線AB：my=x-2，代入y²=8x，得y²-8my-16=0，
則y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16，
x₁+x₂=（my₁+2）+（my₂+2）=8m²+4，
∴M（4m²+2，4m），
∴k_OM=f（α）=

4m

4m2+2

=

2m

2m2+1

，
當(dāng)m=0時(shí)，k_OM=0；
當(dāng)m＞0時(shí)，0＜k_OM=

2

2m+ 1 m

≤

2

2 2m• 1 m

=

2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)m=

2

2

時(shí)取等號(hào)；
當(dāng)m＜0時(shí)，0＞k_OM=

2

2m+ 1 m

=

-2

-2m- 1 m

≥

-2

2 -2m• 1 -m

=-

2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)=-

2

2

時(shí)取等號(hào)；
綜上所述，k_OM=f（α）的取值范圍是[-

2

2

，

2

2

]．

點(diǎn)評(píng)：該題考查拋物線的定義、方程及直線與拋物線的位置關(guān)系，考查斜率公式、基本不等式等知識(shí)，考查分類討論思想．