Question

已知點P是拋物線y²=-8x上一點，設(shè)P到此拋物線準(zhǔn)線的距離是d₁，到直線x+y-10=0的距離是d₂，則d₁+d₂的最小值是

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)拋物線的方程，得到焦點為F（-2，0），準(zhǔn)線方程是x=2．然后作PQ與垂直準(zhǔn)線，交于點Q，過作PM與直線x+y-10=0垂直，交于點M，可得PQ=d₁，PM=d₂．連接PF，根據(jù)拋物線的定義可得d₁+d₂=PF+PM，因此當(dāng)P、F、M三點共線且與直線x+y-10=0垂直時，d_l+d₂最小，最后用點到直線的距離公式，可求出這個最小值．

解答： 解：∵拋物線方程是y²=-8x，
∴拋物線的焦點為F（-2，0），準(zhǔn)線方程是x=2
P是拋物線y²=-8x上一點，過P點作PQ與準(zhǔn)線垂直，垂足為Q，
再過P作PM與直線x+y-10=0垂直，垂足為M
則PQ=d₁，PM=d₂
連接PF，根據(jù)拋物線的定義可得PF=PQ=d₁，所以d₁+d₂=PF+PM，
可得當(dāng)P、F、M三點共線且與直線x+y-10=0垂直時，d_l+d₂最小．（即圖中的F、P₀、M₀位置）
∴d_l+d₂的最小值是焦點F到直線x+y-10=0的距離，
即（d_l+d₂）_min=

|-2+0-10|

1+1

=6

2

．
故答案為：6

2

．

點評：本題借助于求拋物線上一動點到兩條定直線的距離之和的最小值問題，考查了拋物線的定義與簡單幾何性質(zhì)和點到直線距離公式等知識點，屬于中檔題．