Question

已知當(dāng)a∈R且a≠1時(shí)，函數(shù)f（x）=（a-1）x²-ax-m的圖象和x軸總有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程解的問(wèn)題，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系解出即可．

解答： 解：∵a≠1，二次函數(shù)與x軸總有公共點(diǎn)，
∴（a-1）x²-ax-m=0有解，
∴△=a²-4（a-1）（-m）≥0，
即a²+4ma-4m≥0，
 二次函數(shù)y=a²+4ma-4m開(kāi)口向上，
要y≥0說(shuō)明與x軸無(wú)交點(diǎn)或有一個(gè)交點(diǎn)，
∴a²+4ma-4m=0無(wú)解或一個(gè)解，
∴△=（4m）²-4×（-4m）
=16m²+16m≤0，
即m²+m≤0，
∴-1≤m≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系，考察了韋達(dá)定理，滲透了轉(zhuǎn)化思想，是一道基礎(chǔ)題．