Question

2．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一個平行四邊形，$\overrightarrow{AB}$=（2，-1，-4），$\overrightarrow{AD}$=（4，2，0），$\overrightarrow{AP}$=（-1，2，-1）．
（1）求證：PA⊥底面ABCD；
（2）求四棱錐P-ABCD的體積；
（3）對于向量$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁，z₁），$\overrightarrow$=（x₂，y₂，z₂），$\overrightarrow{c}$=（x₃，y₃，z₃），定義一種運算：
（$\overrightarrow{a}$×$\overrightarrow$）$•\overrightarrow{c}$=x₁y₂z₃+x₂y₃z₁+x₁y₃z₂-x₂y₁z₃-x₃y₂z₁．
試計算（$\overrightarrow{AB}$×$\overrightarrow{AD}$）•$\overrightarrow{AP}$的絕對值的值；說明其與四棱錐P-ABCD體積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運算（$\overrightarrow{AB}$×$\overrightarrow{AD}$）•$\overrightarrow{AP}$的絕對值的幾何意義．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知向量的坐標(biāo)，容易求得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AP}=0，\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AP}=0$，從而得到AP⊥AB，AP⊥AD，從而得出PA⊥底面ABCD；
（2）根據(jù)向量$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$的坐標(biāo)，求出cos∠BAD，從而求出sin∠BAD，并能求得$|\overrightarrow{AB}|，|\overrightarrow{AD}|$，從而求出底面平行四邊形的面積，而該四棱錐的高為AP，帶入棱錐的體積公式即可求出四棱錐P-ABCD的體積；
（3）根據(jù)定義的運算便可求得|$（\overrightarrow{AB}×\overrightarrow{AD}）•\overrightarrow{AP}$|=48，而上面求出的四棱錐的體積為16，從而該運算的絕對值便為底面四棱錐體積的三倍．

解答 解：（1）如圖，
$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}=-2-2+4=0$，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AD}=-4+4=0$；
∴$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{AD}$；
∴PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD=A；
∴PA⊥底面ABCD；
（2）cos∠BAD=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|}=\frac{6}{\sqrt{21}•\sqrt{20}}=\frac{3}{\sqrt{105}}$；
∴$sin∠BAD=\sqrt{1-\frac{9}{105}}=\frac{4\sqrt{70}}{35}$，$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{21}，|\overrightarrow{AD}|=2\sqrt{5}$；
∴S_{四邊形ABCD}=$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|sin∠BAD$=$\sqrt{21}•（2\sqrt{5}）•\frac{4\sqrt{70}}{35}=8\sqrt{6}$，$|\overrightarrow{AP}|=\sqrt{6}$；
由（1）知PA⊥底面ABCD；
∴PA是P-ABCD的高；
∴V_{四棱錐P-ABCD}=$\frac{1}{3}{•S}_{四邊形ABCD}•|\overrightarrow{AP}|$=$\frac{1}{3}×8\sqrt{6}×\sqrt{6}$=16；
（3）根據(jù)題意有：
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=-1}\\{{z}_{1}=-4}\end{array}\right.，\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=2}\\{{z}_{2}=0}\end{array}\right.，\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=-1}\\{{y}_{3}=2}\\{{z}_{3}=-1}\end{array}\right.$；
∴$|（\overrightarrow{AB}×\overrightarrow{AD}）•\overrightarrow{AP}|=|2×2×（-1）+4×2×（-4）+2×2×0-4×（-1）×（-1）-（-1）×2×（-4）|$=48；
該值等于四棱錐P-ABCD體積的3倍；
∴（$\overrightarrow{AB}$×$\overrightarrow{AD}$）•$\overrightarrow{AP}$的絕對值的幾何意義是：該值表示底面是以AB，AD為鄰邊的平行四邊形，高是AP的四棱錐P-ABCD體積的三倍．

點評 考查兩非零向量垂直的充要條件，用向量證明線面垂直的方法，以及數(shù)量積的坐標(biāo)運算，棱錐的體積公式，能根據(jù)新運算（$\overrightarrow{a}×\overrightarrow$）$•\overrightarrow{c}$的定義求出$|（\overrightarrow{AB}×\overrightarrow{AD}）•\overrightarrow{AP}|$，并能描述其幾何意義．