Question

已知向量

m

=（

3

sinαωx，cosωx），

n

=（cosωx，-cosωx）（ω＞0）函數(shù)f（x）=

m

•

n

的最小正周期為

π

2

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的三邊a、b、c滿足b²=ac，且邊b所對的角為x，若關(guān)于x的方程f（x）=k有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用平面向量的數(shù)量積運算列出關(guān)系式，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)周期公式，由已知周期即可求出ω的值；
（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosx，將b²=ac代入并利用基本不等式化簡求出cosx的范圍，進而確定出x的范圍，求出這個角的范圍，根據(jù)f（x）=k，得到sin（2ωx-

π

6

）=k+

1

2

，利用正弦函數(shù)圖象即可確定出k的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

=（

3

sinωx，cosωx），

n

=（cosωx，-cosωx），
∴f（x）=

m

•

n

=

3

2

sin2ωx-cos²ωx=

3

2

sin2ωx-

1+cos2ωx

2

=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

，
∴T=

2π

2ω

=

π

2

，
∴ω=2；
（Ⅱ）∵b²=ac，且邊b所對的角為x，
∴由余弦定理得：cosx=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
∴0＜x≤

π

3

，
∴-

π

6

≤4x-

π

6

≤

7π

6

，
由f（x）=k，得到sin（2ωx-

π

6

）=k+

1

2

，
由函數(shù)y=sinx的圖象知，要有兩個不同的實數(shù)解，需-

1

2

＜k+

1

2

＜1，
解得：-1＜k＜

1

2

．

點評：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，周期公式，以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．