Question

對于兩個(gè)圖形F₁，F(xiàn)₂，我們將圖形F₁上的任意一點(diǎn)與圖形F₂上的任意一點(diǎn)間的距離中的最小值，叫作圖形F₁與圖形F₂的距離．若兩個(gè)函數(shù)圖象的距離小于1，稱這兩個(gè)函數(shù)互為“可及函數(shù)”．給出下列幾對函數(shù)，其中互為“可及函數(shù)”的是

 

．（寫出所有正確命題的編號）
①f（x）=cosx，g（x）=2；
②f（x）=e^x，g（x）=x；
③f（x）=log₂（x²-2x+5），g（x）=sin

π

2

x；
④f（x）=x+

2

x

，g（x）=lnx+2；
⑤f（x）=

4-x2

，g（x）=

3

4

x+

15

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡單的合情推理

專題：計(jì)算題,推理和證明

分析：利用“可及函數(shù)”的定義，求出兩個(gè)函數(shù)圖象的距離最小值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：①f（x）=cosx的最低點(diǎn)與g（x）=2的距離等于1，故不滿足題意；
②f（x）=e^x，則f′（x）=e^x，設(shè)切點(diǎn)為（a，e^a），則e^a=1，∴a=0，∴切點(diǎn)為（（0，1），切線方程為y=x+1，則與g（x）=x的距離為

1

2

＜1，滿足題意；
③f（x）=log₂（x²-2x+5）≥2，g（x）=sin

π

2

x≤1，∴兩個(gè)函數(shù)圖象的距離大于等于1，不滿足題意；
④x=

2

時(shí)，f（x）=x+

2

x

=2

2

，g（x）=lnx+2=ln

2

+2，兩個(gè)函數(shù)圖象的距離小于1，滿足題意；
⑤f（x）=

4-x2

表示以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的上半圓，圓心到g（x）=

3

4

x+

15

4

的距離為

15 4

9 16 +1

=3，∴兩個(gè)函數(shù)圖象的距離最小值為1，不滿足題意．
故答案為：②④．

點(diǎn)評：本題考查合情推理，考查新定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確理解新定義是關(guān)鍵．