Question

如圖，已知點P（x₀，y₀）到直線l：Ax+By+C=0（AB≠0）的距離為d，求證：d=

|Ax0+By0+C|

A2+B2

．

Answer 1

考點：點到直線的距離公式

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：如圖所示，作PQ⊥l，設垂足Q（x₁，y₁），利用直線垂直的斜率關(guān)系以及兩點間的距離公式即可求出PQ．

解答： 證明：如圖所示，作PQ⊥l，設垂足Q（x₁，y₁），
則有Ax₁+By₁+C=0①
∵l⊥PQ，
∴A（y₁-y₀）=B（x₁-x₀）②
又∵A≠0，
∴|PQ|=

(x1-x0)2+(y1-y0)2

=

A2+B2

|A|

|x1-x0|．
將①變形為A（x₁-x₀）+B（y₁-y₀）+Ax₀+By₀+C=0③
則由②③可得|x1-x0|=

|A|

A2+B2

|Ax0+By0+C|，
∴d=|PQ|=

|Ax0+B y   0 +C|

A2+B2

．
∴點P（x₀，y₀）到直線l：Ax+By+C=0（AB≠0）的距離為
d=|PQ|=

|Ax0+B y   0 +C|

A2+B2

．

點評：本題考查兩直線垂直時斜率的關(guān)系以及兩點間的距離公式等知識，屬于中檔題．