Question

8．如圖1所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD為∠ACB的平分線，點(diǎn)E在線段AC上，CE=4，如圖2所示，將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，連接AB．
（1）求證：DE⊥平面BCD
（2）求二面角B-AD-E的余弦值

Answer 1

分析 （1）取AC的中點(diǎn)P，連接DP，證明DP⊥AC，∠EDC=90°，ED⊥DC；利用平面與平面垂直的性質(zhì)證明DE⊥平面BCD；
（2）過(guò)B作BQ⊥CD于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，通過(guò)計(jì)算能以Q為原點(diǎn)，分別以QP、QC、QB所在直線為x、y、z軸建立坐標(biāo)系，則所求值為
平面ABD的一個(gè)法向量與平面ADE的一個(gè)法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值，計(jì)算即可．

解答 （1）證明：取AC的中點(diǎn)P，連接DP，
∵在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD為∠ACB的平分線，
∴∠A=30°，△ADC是等腰三角形，
所以DP⊥AC，DP=$\sqrt{3}$，∠DCP=30°，∠PDC=60°，
又點(diǎn)E在線段AC上，CE=4，
所以AE=2，EP=1，所以∠EDP=30°，
∴∠EDC=90°，∴ED⊥DC，
∵將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，
∴DE⊥平面BCD；
（2）解：過(guò)B作BQ⊥CD于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，
由（1）知BC=3，∠BCD=∠PCD=30°，∠CBD=90°，
∴CD=$\frac{BC}{cos30°}$=2$\sqrt{3}$，BD=BCtan30°=$\sqrt{3}$，
∴BQ=$\frac{BD•BC}{CD}$=$\frac{3}{2}$，DQ=$\sqrt{B{D}^{2}-B{Q}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{CQ}{CD}$=$\frac{CD-DQ}{CD}$=$\frac{3}{4}$=$\frac{CP}{CE}$，即PQ⊥CD，
∵∠PCD=30°，AD=AB-BD=AB-DP=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$-$\sqrt{3}$=$3\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴AN=ADcos30°=3，QN=DQ+DN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+ADsin30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
故能以Q為原點(diǎn)，分別以QP、QC、QB所在直線為x、y、z軸建立坐標(biāo)系，如圖：
則A=（3，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，0），B=（0，0，$\frac{3}{2}$），D=（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{AD}$=（-3，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BD}$=（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-3x+\sqrt{3}y=0}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}y-\frac{3}{2}z=0}\end{array}\right.$，
令y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，-1），
又$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）為平面ADE的一個(gè)法向量，
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴二面角B-AD-E的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的計(jì)算，直線與平面平行的判定，考查空間想象能力，計(jì)算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．