Question

20．如圖，已知⊙O的直徑為AB，點(diǎn)C為⊙O上異于A，B的一點(diǎn)，BC⊥VA，AC⊥VB．
（Ⅰ）求證：VC⊥平面ABC；
（Ⅱ）已知AC=1，VC=2，AB=3，點(diǎn)M為線段VB的中點(diǎn)，求兩面角B-MA-C的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)直徑所對(duì)的圓周角為直徑及線面垂直的判定定理可得結(jié)論；
（Ⅱ）以C為原點(diǎn)，以CA、CB、CV所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，則所求角的余弦值為平面BMA的法向量與平面CMA的法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值，計(jì)算即可．

解答 （Ⅰ）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴AC⊥BC，
又∵BC⊥VA，AC∩VA=A，
∴BC⊥平面VAC，∴BC⊥VC，
又∵AC⊥VB且AC⊥BC，VB∩BC=B，
∴AC⊥平面VBC，∴AC⊥VC，
又∵BC∩AC=C，∴VC⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：∵BC⊥VC，VC⊥平面ABC，
∴VC⊥BC，VC⊥AC，
又AC⊥BC，∴以C為原點(diǎn)，以CA、CB、CV所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz如圖，
則A（1，0，0），B（0，2$\sqrt{2}$，0），V（0，0，2），∴M（0，$\sqrt{2}$，1），
∴$\overrightarrow{AM}$=（-1，$\sqrt{2}$，1），$\overrightarrow{AB}$=（-1，2$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{CA}$=（1，0，0），
設(shè)平面BMA的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{2}y+z=0}\\{-x+2\sqrt{2}y=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{m}$=（2$\sqrt{2}$，1，$\sqrt{2}$），
設(shè)平面CMA的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{2}y+z=0}\\{-x=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{n}$=（0，1，-$\sqrt{2}$），
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{33}}$=-$\frac{\sqrt{33}}{33}$，
∴兩面角B-MA-C的正弦值為$\sqrt{1-（-\frac{\sqrt{33}}{33}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{66}}{33}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的計(jì)算，考查空間想象能力，計(jì)算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．