Question

14．已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，滿足f（x+1）=$\frac{1-f（x）}{1+f（x）}$．
（1）求證：f（x）是周期函數(shù)，并求周期；
（2）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，求f（x）在x∈[-1，0]的解析式；
（3）當(dāng)x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）時(shí)，對(duì)于（2）中的函數(shù)，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由f（x+2）=$\frac{1-f（x+1）}{1+f（x+1）}$，把f（x+1）=$\frac{1-f（x）}{1+f（x）}$代入即可得出．
（2）設(shè)x∈[-1，0]，則1+x∈[0，1]．由于當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，利用f（1+x）=x+1=$\frac{1-f（x）}{1+f（x）}$，解得f（x）即可．
（3）由（2）可得：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，x∈[0，1]}\\{\frac{-x}{x+2}，x∈[-1，0）}\end{array}\right.$．x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）時(shí)，x-2k∈[-1，1]，即可得出．

解答 （1）證明：∵f（x）是定義在R上的函數(shù)，滿足f（x+1）=$\frac{1-f（x）}{1+f（x）}$．
∴f（x+2）=$\frac{1-f（x+1）}{1+f（x+1）}$=$\frac{1-\frac{1-f（x）}{1+f（x）}}{1+\frac{1-f（x）}{1+f（x）}}$=f（x），
∴f（x）是周期函數(shù)，周期T=2．
（2）解：設(shè)x∈[-1，0]，則1+x∈[0，1]．
∵當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，
∴f（1+x）=x+1=$\frac{1-f（x）}{1+f（x）}$，解得f（x）=$\frac{-x}{x+2}$．
（3）解：由（2）可得：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，x∈[0，1]}\\{\frac{-x}{x+2}，x∈[-1，0）}\end{array}\right.$．
x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）時(shí)，x-2k∈[-1，1]，
f（x）=f（x-2k）=$\left\{\begin{array}{l}{x-2k，x∈[2k，2k+1]}\\{\frac{-（x-2k）}{x-2k+2}，x∈[2k-1，2k）}\end{array}\right.$（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)周期性、解析式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．