Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=mx+n，e是自然對(duì)數(shù)的底，m，n∈R．
（Ⅰ）若m=1時(shí)方程f（x）-g（x）=0在[-1，1]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，求n的取值范圍；
（Ⅱ）若F（x）=f（x）g（x），且n=1-m，求F（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）m=1時(shí)，令h（x）=f（x）-g（x），則有

h(0)＜0 h(-1)≥0 h(1)≥0

，即

1-n＜0 1 e +1-n≥0 e-1-n≥0

，由此求得n的范圍．
（Ⅱ）由題意得F′（x）=e^x（mx+1），根據(jù)e^x＞0，分類(lèi)討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)F（x）的單調(diào)性，從而求得F（x）在[0，1]上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵m=1時(shí)方程f（x）-g（x）=0在[-1，1]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，令h（x）=f（x）-g（x），
則有

h(0)＜0 h(-1)≥0 h(1)≥0

，即

1-n＜0 1 e +1-n≥0 e-1-n≥0

，解得1＜n＜1+

1

e

，故n的范圍為（1，1+

1

e

）．
（Ⅱ）∵F（x）=f（x）g（x），且n=1-m，∴F（x）=e^x（mx+1-m），∴F′（x）=e^x（mx+1）．
∵e^x＞0，∴①當(dāng)m≥0時(shí)F（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，最大值為F（1）=e．
若-

1

m

＜1，即m＜-1，F(xiàn)（x）在[0，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，最大值為F（1）=e．
②當(dāng)m＜0時(shí)，由F′（x）=0求得x=-

1

m

＞0．
若-

1

m

≥1，即-1≤m＜0，
-

1

m

]上單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）在[-

1

m

，1]上單調(diào)遞減，
F（x）在[0，1]上的最大值為F（-

1

m

）=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，體現(xiàn)了分類(lèi)討論、以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．