Question

已知雙曲線C與

x2

12

-

y2

8

=1有相同漸近線，且與x軸一個交點為（

3

，0）．
（1）求雙曲線C方程；
（2）斜率為2的直線l被該雙曲線截得弦長4，求直線L在y軸上的截距．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）可設雙曲線C：

x2

12

-

y2

8

=λ（λ≠0），代入點（

3

，0），則得λ=

1

4

，即可得到所求方程；
（2）設斜率為2的直線l：y=2x+t，聯(lián)立直線方程l和雙曲線C方程，消去y得到x的方程，運用韋達定理和判別式大于0，以及弦長公式，化簡計算即可求得t，得到直線方程，令x=0，即可得到縱截距．

解答： 解：（1）由于雙曲線C與

x2

12

-

y2

8

=1有相同漸近線，
則可設雙曲線C：

x2

12

-

y2

8

=λ（λ≠0），
代入點（

3

，0），則得λ=

1

4

，
故雙曲線C方程為：

x2

3

-

y2

2

=1；
（2）設斜率為2的直線l：y=2x+t，
聯(lián)立直線方程l和雙曲線C方程，消去y得，
10x²+12tx+3t²+6=0，
則有△=144t²-40（3t²+6）＞0，
x₁+x₂=-

6t

5

，x₁x₂=

3t2+6

10

，
由弦長公式得，

1+22

•

(x1+x2)2-4x1x2

=4，
即有

5

•

36t2 25 - 2(3t2+6) 5

=4，
解得，t=±

210

3

，
經(jīng)檢驗滿足判別式大于0，
故直線l：y=2x±

210

3

，
令x=0，則有y=±

210

3

．
即有直線l在y軸上的截距為±

210

3

．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)的運用，考查直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，得到二次方程，運用判別式大于0，以及韋達定理，和弦長公式，考查運算能力，屬于中檔題．