Question

2．已知直線(xiàn)l與橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為P（1，1），則直線(xiàn)l的方程是（　�。�

• A． x+2y-3=0
• B． 2x+y-3=0
• C． 2x-y-1=0
• D． x-2y+1=0

Answer 1

分析 利用“點(diǎn)差法”可求得直線(xiàn)AB的斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求得直線(xiàn)l的方程．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（1，1）是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，
則x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
依題意，$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=4}\\{{{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=4}\end{array}\right.$，
①-②得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）=-2（y₁+y₂）（y₁-y₂），
由題意知，直線(xiàn)l的斜率存在，
∴k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴直線(xiàn)l的方程為：y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），
整理得：x+2y-3=0．
P（1，1）在橢圓內(nèi)，故成立．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)與直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，求直線(xiàn)l的斜率是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，著重考查點(diǎn)差法，屬于中檔題．