Question

已知直線l：y=2x與拋物線C：y=

1

4

x2交于A（x_A，y_A）、O（0，0）兩點，過點O與直線l垂直的直線交拋物線C于點B（x_B，y_B）．如圖所示．
（1）求拋物線C的焦點坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過A、B兩點的直線與y軸交點M的坐標(biāo)；
（3）過拋物線y=

1

4

x2的頂點任意作兩條互相垂直的直線，過這兩條直線與拋物線的交點A、B的直線AB是否恒過定點，如果是，指出此定點，并證明你的結(jié)論；如果不是，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）拋物線C：y=

1

4

x2的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，由此能求出拋物線C的焦點坐標(biāo)．
（2）聯(lián)立方程組

y= 1 4 x2 y=2x

，求出點A坐標(biāo)．聯(lián)立方程組

y= 1 4 x2 y=- 1 2 x

，求出點B坐標(biāo)．由此求出直線AB的方程，從而能求出點M的坐標(biāo)．
（3）結(jié)論：過拋物線y=

1

4

x2的頂點任意作兩條互相垂直的直線，過這兩條直線與拋物線的交點的直線AB恒過定點（0，4）．設(shè)過拋物線y=

1

4

x2的頂點的一條直線為y=kx（k≠0），另一條為y=-

1

k

x，聯(lián)立方程組

y= 1 4 x2 y=- 1 k x

，求出點A坐標(biāo)．聯(lián)立方程組

y= 1 4 x2 y=- 1 k x

，求出點B坐標(biāo)為（-

4

k

，

4

k2

），由此求出直線AB的方程，從而能證明直線AB恒過定點（0，4）．

解答： 解：（1）拋物線C：y=

1

4

x2的方程化為x²=4y，
∴2p=4，p=2．…（2分）
∴拋物線C的焦點坐標(biāo)為（0，1）．…（4分）
（2）聯(lián)立方程組

y= 1 4 x2 y=2x

，解得點A坐標(biāo)為（8，16）．…（6分）
聯(lián)立方程組

y= 1 4 x2 y=- 1 2 x

，解得點B坐標(biāo)為（-2，1）．…（7分）
所以直線AB的方程為y-1=

16-1

8-(-2)

•(x+2)，…（8分）
令x=0，解得y=4．
∴點M的坐標(biāo)為（0，4）．…（9分）
（3）結(jié)論：過拋物線y=

1

4

x2的頂點任意作兩條互相垂直的直線，
過這兩條直線與拋物線的交點的直線AB恒過定點（0，4）．…（10分）
證明如下：
設(shè)過拋物線y=

1

4

x2的頂點的一條直線為y=kx（k≠0），
則另一條為y=-

1

k

x，
聯(lián)立方程組

y= 1 4 x2 y=- 1 k x

，解得點A坐標(biāo)為（4k，4k²）．…（11分）
聯(lián)立方程組

y= 1 4 x2 y=- 1 k x

，解得點B坐標(biāo)為（-

4

k

，

4

k2

）．…（12分）
所以直線AB的方程為y-

4

k2

=

4k2- 4 k2

4k-(- 4 k )

•(x+

4

k

)，…（13分）
令x=0，解得y=4．
∴直線AB恒過定點（0，4）．…（14分）

點評：本題考查拋物線的焦點坐標(biāo)的求法，考查直線與y軸交點坐標(biāo)的求法，考查直線是否過定點的判斷與證明，解題時要熟練掌握拋物線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用．