Question

【題目】橢圓 的左右焦點(diǎn)分別為F1 ， F2 ， 離心率為 ，過(guò)點(diǎn)F1且垂直于x軸的直線(xiàn)被橢圓截得的弦長(zhǎng)為 ，直線(xiàn)l：y=kx+m與橢圓交于不同的A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若在橢圓C上存在點(diǎn)Q滿(mǎn)足： （O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得 ， ，又a2=b2+c2，聯(lián)立解得 ．

故所求橢圓C的方程為 ．

（2）解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）

當(dāng)λ=0時(shí)由 知， ，A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，存在Q滿(mǎn)足題意，∴λ=0成立．

當(dāng)λ≠0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+m．

聯(lián)立 得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，

由△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0解得m2＜1+2k2…（*）

∴ ， ．

由 ，得（x1+x2，y1+y2）=（λx0，λy0），可得x1+x2=λx0，y1+y2=λy0，

∴ ，

代入到 得到 ，

代入（*）式 ，

由1+2k2＞0得λ2＜4，解得﹣2＜λ＜2且λ≠0．

∴綜上λ∈（﹣2，2）．

【解析】（1）由已知得 ， ，又a2=b2+c2 ， 聯(lián)立解得即可．（2）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），Q（x0 ， y0），分類(lèi)討論：當(dāng)λ=0時(shí)，利用橢圓的對(duì)稱(chēng)性即可得出；λ≠0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+m．與橢圓的方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量相等，代入計(jì)算即可得出．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．