Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知acosC-csinC=b．
（Ⅰ）若C=

π

6

，求∠B．
（Ⅱ）求sin（2C-A）+sinB的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）在△ABC中，利用正弦定理可得sinAcosC-sin²C=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，依題意，可求得cosA=-sinC=-

1

2

，從而可求得B的值；
（Ⅱ）利用兩角差的正弦及二倍角的余弦及由已知得到的結論cosA=-sinC，即可求得sin（2C-A）+sinB═2(cosC-

1

4

)2-

9

8

，進一步可求得C∈（0，

π

4

），從而可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵acosC-csinC=b，
∴sinAcosC-sin²C=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∵sinC≠0，C=

π

6

，
∴cosA=-sinC=-

1

2

，A∈（0，π），
∴A=

2π

3

，
∴B=

π

6

；
（Ⅱ）sin（2C-A）+sinB=sin2CcosA-cos2CsinA+sin（A+C）
=sin2CcosA-cos2CsinA+sinAcosC+cosAsinC
=sin2C（-sinC）-cos2cosC+cos²C-sin²C
=-2sin²CcosC-（1-2cos²C）cosC+cos²C-sin²C
=-cosC+2cos²C-1=2(cosC-

1

4

)2-

9

8

；
∵

0＜C＜ π 2 C=A- π 2 B=(π-A-C)∈(0， π 2 )

，∴C∈（0，

π

4

），
∴cosC∈（

2

2

，1），
∴sin（2C-A）+sinB∈（-

2

2

，0）．

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，考查正弦定理的應用，考查兩角差的正弦及二倍角的余弦及二次函數(shù)的配方法的綜合應用，屬于難題．