Question

（本小題滿分14分）
已知數(shù)列中，,, 為該數(shù)列的前項(xiàng)和，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若不等式對(duì)一切正整數(shù)都成立，求正整數(shù)的最大值，并證明結(jié)論．

Answer 1

(1) ；
(2).當(dāng)時(shí)，，即，所以．而是正整數(shù)，所以取。

本試題主要是考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，和數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用。
（1）根據(jù)的，得到前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的的關(guān)系，然后整體化簡(jiǎn)求解得到其通項(xiàng)公式的求解。
（2）不等式對(duì)一切正整數(shù)都成立，可以從特殊值入手，求解參數(shù)a的范圍，然后分析得到結(jié)論。
解：(1) 
     ………1分
    又            ………3分
構(gòu)成以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列。
                               ………6分
(2).當(dāng)時(shí)，，即，      
所以．                                     ………7分
而是正整數(shù)，所以取，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：．
（1）當(dāng)時(shí)，已證；                      ………8分
（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即．   ………9分
則當(dāng)時(shí)，
有
 ………11分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/201408232235233242438.png" style="vertical-align:middle;" />
即>       所以．
所以當(dāng)時(shí)不等式也成立．          
由（1）（2）知，對(duì)一切正整數(shù)，都有，………13分
所以的最大值等于25．          ………14分