Question

11．現(xiàn)代城市大多是棋盤式布局（如上海道路幾乎都是東西和南北走向）．在這樣的城市中，我們說的兩點間的距離往往不是指兩點間的直線距離（位移），而是實際路程（如圖）．在直角坐標平面內，我們定義A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點間的“直角距離”為：D_（AB）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．
（1）在平面直角坐標系中，寫出所有滿足到原點的“直角距離”
為2的“格點”的坐標；（格點指橫、縱坐標均為整數(shù)的點）
（2）定義：“圓”是所有到定點“直角距離”為定值的點組成的圖形，點A（1，3），B（1，1），C（3，3），求經(jīng)過這三個點確定的一個“圓”的方程，并畫出大致圖象；
（3）設P（x，y），集合B表示的是所有滿足D_（PO）≤1的點P所組成的集合，
點集A={（x，y）|-1≤x≤1，-1≤y≤1}，
求集合Q={（x，y）|x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}所表示的區(qū)域的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意可得|x|+|y|=2，從而寫出格點即可；
（2）設定點坐標為（a，b），定值為r，從而可得“圓”的方程為|x-a|+|y-b|=r，從而解得“圓”的方程為|x-2|+|y-2|=2，作其圖象即可；
（3）由題意，B={（x，y）||x|+|y|≤1}，從而可得|x-x₁|+|y-y₁|≤1，從而可得點集Q表示以點A內的點為定點，1為定長的“圓”及其內部，從而求面積．

解答 解：（1）（0，2）、（1，1）、（2，0）、（1，-1）、（0，-2）、（-1，-1）、（-2，0）、（-1，1）；
（2）設定點坐標為（a，b），定值為r，
則“圓”的方程為|x-a|+|y-b|=r．
則$\left\{{\begin{array}{l}{|a-1|+|b-3|=r}\\{|a-1|+|b-1|=r}\\{|a-3|+|b-3|=r}\end{array}⇒\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\\{r=2}\end{array}}\right.}\right.$．
“圓”的方程為|x-2|+|y-2|=2．
作其圖象如下，
．
（3）B={（x，y）||x|+|y|≤1}，
∵$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{1}+{x}_{2}}\\{y={y}_{1}+{y}_{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=x-{x}_{1}}\\{{y}_{2}=y-{y}_{1}}\end{array}\right.$，
∵（x₂，y₂）∈B，
∴|x₂|+|y₂|≤1，
即|x-x₁|+|y-y₁|≤1，
∵點集A表示以原點為中心，邊長為2的正方形及其內部，
∴點集Q表示以點A內的點為定點，1為定長的“圓”及其內部．
面積$S=4×4-\frac{1}{2}×1×1×4=14$．

點評 本題考查了學生的接受能力與應用能力，同時考查了學生的作圖能力．