Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，平面，，，AP=AD=2AB=2BC，點(diǎn)在棱上.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）當(dāng)平面時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)證明；（2）

【解析】

（I）設(shè)中點(diǎn)為，連接、.設(shè)出的邊長(zhǎng)，通過(guò)計(jì)算證明，根據(jù)已知得到，由此證得平面，從而證得.（II）以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面計(jì)算出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線的方向向量和平面的法向量計(jì)算出線面角的正弦值.

（Ⅰ）設(shè)中點(diǎn)為，連接、.由題意.

∵，∴四邊形為平行四邊形，又，∴為正方形.

設(shè)，在中，，又，.

∴，∴.

∵平面，平面，∴.

∵，平面，且，∴平面.

∵平面，∴.

（Ⅱ）因?yàn)?/span>平面，所以，，又，故，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由（Ⅰ）所設(shè)知，則，，，.

由已知平面，∴，設(shè)，則.

，∵，∴，，

∴.

設(shè)平面的法向量，則

令，得.

設(shè)所求的角為，.

所以直線與平面所成角的正弦值為.