【題目】在圓周上依次有個(gè)點(diǎn),今隨機(jī)地選取其中個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作凸邊形,已知選取與否的可能性是相同的,試求對每個(gè),邊形的兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)(規(guī)定)之間至少有中的個(gè)點(diǎn)的概率,其中,是給定的一組正整數(shù).
【答案】
【解析】
設(shè)是合乎條件的凸邊形,令,
設(shè)中與之間有個(gè)不屬于,規(guī)定,
則,其中,,
于是, ①
其中,.
這樣,每個(gè)組合與方程①的整數(shù)解建立了一一對應(yīng),而且方程①的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為.
所以,符合條件的組合有個(gè).
將每一個(gè)組合排在圓周上,有種不同的排法(每個(gè)頂點(diǎn)輪換一次),但每個(gè)凸邊形有個(gè)頂點(diǎn),每個(gè)點(diǎn)作為以相應(yīng)的間隔(不定方程的解)計(jì)算一次,從而,凸邊形被計(jì)算次(比如三角形,以點(diǎn)分別作為時(shí),其分別在間隔方式2、3、4、3、4、2、4、2、3中各計(jì)算一次),于是,所以符合條件的凸邊形有個(gè).
又從圓周上個(gè)點(diǎn)中取個(gè)點(diǎn)有種方法,
故所求的概率為:,其中,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(1)函數(shù)在處的切線與直線垂直,求實(shí)數(shù)的值;
(2)若函數(shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn),且.
①求實(shí)數(shù)的取值范圍;
②求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有件產(chǎn)品,其中件是次品,其余都是合格品,現(xiàn)不放回的從中依次抽件.求:(1)第一次抽到次品的概率;
(2)第一次和第二次都抽到次品的概率;
(3)在第一次抽到次品的條件下,第二次抽到次品的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和的極值;
(2)對于任意的,,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】個(gè)人在某個(gè)節(jié)日期間互通電話問候,已知其中每個(gè)人至多打通了三個(gè)朋友家的電話,任何兩個(gè)人之間至多進(jìn)行一次通話,且任何三個(gè)人中至少有兩人,其中一個(gè)人打通了另一個(gè)人家里的電話,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),且),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫出曲線和直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線與軸交點(diǎn)記為,與曲線交于,兩點(diǎn),Q在x軸下方,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從1~2010中選出總和為1006779的1005個(gè)數(shù),且這1005個(gè)數(shù)中任意兩數(shù)之和都不等于2011.
(1)證明: 為定值;
(2)當(dāng)取最小值時(shí),求 中所有小于1005的數(shù)之和。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐中,平面,,,AP=AD=2AB=2BC,點(diǎn)在棱上.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)當(dāng)平面時(shí),求直線與平面所成角的正弦值.
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