Question

已知O為坐標原點，

OA

=（2cos²x，1），

OB

=（1，

3

sin2x+a）（x∈R，a∈R，a是常數），若y=

OA

•

OB

．
（Ⅰ）求y關于x的函數解析式f（x）；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為2，求a的值并指出f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,平面向量數量積的運算,二倍角的余弦,正弦函數的單調性

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）通過向量的數量積，把

OA

，

OB

的坐標，代入函數解析式，利用向量積的運算求得函數解析式．
（Ⅱ）通過x∈[0，

π

2

]，求出相位的范圍，然后求出函數的最大值，利用最大值為2，直接求得a．然后求出函數的單調區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）∵

OA

=（2cos²x，1），

OB

=（1，

3

sin2x+a），
∴y=

OA

•

OB

=2cos²x+

3

sin2x+a，
=1+cos2x+

3

sin2x+a，
=cos2x+

3

sin2x+a+1，
=2（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）+a+1，
=2（sin

π

6

cos2x+cos

π

6

sin2x）+a+1，
=2sin（2x+

π

6

）+a+1．
（Ⅱ）因為x∈[0，

π

2

），所以2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

），
當2x+

π

6

=

π

2

時，sin（2x+

π

6

）=1，y_max=2+a+1=3+a，
又∵y_max=2，
∴3+a=2，
∴a=-1，
y═2sin（2x+

π

6

），
又2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得：x∈[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z，是函數的單調增區(qū)間，
函數的單調減區(qū)間是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z．

點評：本題主要考查了三角函數的最值，二倍角的化簡求值，平面向量的數量積的運算．考查了對三角函數基礎知識的綜合應用．