Question

函數(shù)y=-x²+2ax+1在-1≤x≤2上的最大值是4，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：二次函數(shù)y=-x²+2ax+1 的對(duì)稱軸方程為x=a，分對(duì)稱軸在閉區(qū)間的左側(cè)、中間、右側(cè)三種情況，分別求得函數(shù)的最大值．

解答： 解：二次函數(shù)y=-x²+2ax+1 的對(duì)稱軸方程為x=a，
當(dāng)a＜-1時(shí)，函數(shù)y=-x²+2ax+1在區(qū)間[-1，2]上單調(diào)遞減，故函數(shù)的最大值為f（-1）=-1-2a+1=4，解得a=-2；
當(dāng)-1≤a≤2時(shí)，函數(shù)的最大值為f（a）=a²+1=4，解得a=

3

；
當(dāng)a≥2時(shí)，函數(shù)y=-x²+2ax+1在區(qū)間[-1，2]上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最大值為f（2）=-4+4a+1=4，解得a=

7

4

，舍去．
綜上，a的值為-2或

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬基礎(chǔ)題．