Question

已知拋物線y²=2px過(guò)點(diǎn)M（

1

4

，

2

2

），A，B是拋物線上的點(diǎn)，直線OA，OM，OB的斜率成等比數(shù)列，則直線AB恒過(guò)定點(diǎn)

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先求出拋物線方程，再利用直線OA，OM，OB的斜率成等比數(shù)列，可得y₁y₂=

1

2

，求出直線方程令y=0，可得直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（-

1

4

，0）．

解答： 解：∵拋物線y²=2px過(guò)點(diǎn)M（

1

4

，

2

2

），
∴p=1，
∴拋物線方程為y²=2x，
設(shè)A（

y12

2

，y₁），B（

y22

2

，y₂），則
∵直線OA，OM，OB的斜率成等比數(shù)列，
∴8=

2

y1

•

2

y2

，
∴y₁y₂=

1

2

，
直線AB的方程為y-y₁=

2

y2+y1

（x-

y12

2

），
令y=0，可得x=-

1

2

y₁y₂=-

1

4

，
∴直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（-

1

4

，0）．
故答案為：（-

1

4

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程，考查直線恒過(guò)定點(diǎn)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．