Question

11．已知在△ABC中，2sinA=$\sqrt{3}$sinC-sinB，則A的取值范圍為$[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$．

Answer 1

分析 利用已知條件通過三角形的內(nèi)角和化B為A，C關(guān)系，通過然后按照A，C集項(xiàng)，利用構(gòu)造法求出A的三角函數(shù)的范圍，然后求解A的范圍即可．

解答 解：2sinA=$\sqrt{3}$sinC-sinB=$\sqrt{3}$sinC-sin（A+C）=$\sqrt{3}$sinC-sinAcosC-cosAsinC，
可得$\frac{sinA}{\sqrt{3}-cosA}=\frac{SsinC}{2+cosC}$，
令$\frac{sinC}{2+cosC}=\frac{1}{m}$，則msinC=2+cosC，
可得m²sin²C=4+2cosC+cos²C，
∴（1+m²）cos²C+4cosC+4-m²=0，
關(guān)于cosC的方程有解，可得△=16-4（1+m²）（4-m²）≥0，解得：m$≥\sqrt{3}$．
∴$\frac{sinA}{\sqrt{3}-cosA}≤\frac{1}{\sqrt{3}}$，即sin（A+$\frac{π}{6}$）$≤\frac{\sqrt{3}}{2}$，A是三角形的內(nèi)角，
∴$\frac{π}{3}≤$A+$\frac{π}{6}$$≤\frac{2π}{3}$，可得A∈$[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$．
故答案為：$[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的解法兩角和與差的三角函數(shù)，三角方程的求解，考查分析問題解決問題的能力．