Question

已知函數(shù)，．
（Ⅰ）求函數(shù)y=g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)y=g（x）在[eⁿ，+∞）（n∈Z）上有零點，求n的最大值；

Answer 1

解：（Ⅰ）由題知：g（x）=x²-2x+2+lnx的定義域為（0，+∞）

當g′（x）＞0，即0＜x＜或x＞2時，函數(shù)g（x）為增函數(shù)；
當g′（x）＜0，即＜x＜2時，函數(shù)g（x）為減函數(shù)．
所以，g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，）∪（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（，2）
（Ⅱ）∵g（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)，在（，2）上為減函數(shù)，
∴g（x）在x∈上的最小值為g（2）
且g（2）=
∴g（x）在x∈上沒有零點，
∴要想使函數(shù)g（x）在[eⁿ，+∞）（n∈Z）上有零點，并考慮到g（x）在（0，）單調(diào)遞增且在（，2）單調(diào)遞減，故只須且g（eⁿ）≤0即可，
易驗證=，
根據(jù)g（x）在（0，）為單調(diào)遞增函數(shù)，當n≤-2且n∈Z時均有g（eⁿ）≤g（e^-2）＜0，
即函數(shù)g（x）在[eⁿ，e^-1]?[eⁿ，+∞）（n∈Z）上有零點
∴n的最大值為-2．
分析：（1）令g′（x）＞0，得到g（x）的單調(diào)增區(qū)間；令g′（x）＜0，得到g（x）的單調(diào)減區(qū)間．
（2）容易求得g（x）在[，+∞]的最小值為g（2）大于0，若g（x）在[eⁿ，+∞）（n∈Z）上有零點，只能在（0，）上存在零點，故只須令eⁿ＜且g（eⁿ）≤0，找到n的最大值即可．
點評：本題較好，是關于函數(shù)的綜合題，主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值、零點等函數(shù)的基本知識，應熟練掌握．