【題目】已知a>0,且a≠1.命題P:函數(shù)f(x)=logax在(0,+∞)上為增函數(shù);命題Q:函數(shù)g(x)=x2﹣2ax+4有零點(diǎn).
(1)若命題P,Q滿足P真Q假,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)命題S:函數(shù)y=f(g(x))在區(qū)間[2,+∞)上值恒為正數(shù).若命題S為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)(1,2);
(2)(1,).
【解析】
(1)根據(jù)命題P,Q滿足P真Q假,計(jì)算得到答案.
(2)首先保證g(x)=x2﹣2ax+4在[2,+∞)上恒大于0,再討論0<a<1和1<a<2兩種情況,分別計(jì)算得到答案.
(1)由命題P:函數(shù)f(x)=logax在(0,+∞)上為增函數(shù)是真,得a>1;
由命題Q:函數(shù)g(x)=x2﹣2ax+4有零點(diǎn)為假,得△=4a2﹣16<0,得﹣2<a<2.
∴使命題P真Q假的實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2);
(2)若函數(shù)y=f(g(x))在區(qū)間[2,+∞)上值恒為正數(shù),
則首先保證g(x)=x2﹣2ax+4在[2,+∞)上恒大于0,
則△=4a2﹣16<0或,
得﹣2<a<2.又a>0且a≠1,∴0<a<2且a≠1.
當(dāng)0<a<1時(shí),外層函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,而內(nèi)層函數(shù)g(x)當(dāng)x→+∞時(shí),g(x)→+∞,
此時(shí)y=f(g(x))<0,不合題意;
當(dāng)1<a<2時(shí),外層函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,要使y=f(g(x))>0在區(qū)間[2,+∞)上恒成立,
則g(x)=x2﹣2ax+4在[2,+∞)上的最小值大于1.
即g(2)=8﹣4a>1,得a.
∴1<a.
即使命題S為真命題的實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班級(jí)期末考試后,對(duì)數(shù)學(xué)成績?cè)?/span>分以上(含分)的學(xué)生成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì),其頻率分布直方圖如圖所示.其中分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為人.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,寫出該班級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)成績的眾數(shù);
(2)現(xiàn)根據(jù)學(xué)生數(shù)學(xué)成績從第一組和第四組(從低分段到高分段依次為第一組,第二組,,第五組)中任意選出兩人形成學(xué)習(xí)小組.若選出的兩人成績之差大于分則稱這兩人為“最佳組合”,試求選出的兩人為“最佳組合”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f(x)=ax2﹣2bx+8.
(1)設(shè)集合P={1,2,3}和Q={2,3,4,5},分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(﹣∞,2]上有零點(diǎn)且為減函數(shù)的概率?
(2)設(shè)集合P=[1,3]和Q[2,5],分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)作為a和b,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(﹣∞,2]上有零點(diǎn)且為減函數(shù)的概率?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為推動(dòng)更多人閱讀,聯(lián)合國教科文組織確定每年的4月23日為“世界讀書日”設(shè)立目的是希望居住在世界各地的人,無論你是年老還是年輕,無論你是貧窮還是富裕,都能享受閱讀的樂趣,都能尊重和感謝為人類文明做出過巨大貢獻(xiàn)的思想大師們,都能保護(hù)知識(shí)產(chǎn)權(quán).為了解不同年齡段居民的主要閱讀方式,某校興趣小組在全市隨機(jī)調(diào)查了200名居民,經(jīng)統(tǒng)計(jì)這200人中通過電子閱讀與紙質(zhì)閱讀的人數(shù)之比為3:1,將這200人按年齡分組,其中統(tǒng)計(jì)通過電子閱讀的居民得到的頻率分布直方圖如圖所示,
(1)求a的值及通過電子閱讀的居民的平均年鹼;
(2)把年齡在第1,2,3組的居民稱為青少年組,年齡在第4,5組的居民稱為中老年組,若選出的200人中通過紙質(zhì)閱讀的中老年有30人,請(qǐng)完成下面2×2列聯(lián)表,并判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為閱讀方式與年齡有關(guān)?
參考公式:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若,,且存在不相等的實(shí)數(shù),,使得,求證:且.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC為正三角形,且BC=CD=2,CD⊥BC,將△ABC沿BC翻折.
(1)當(dāng)AD=2時(shí),求證:平面ABD⊥平面BCD;
(2)若點(diǎn)A的射影在△BCD內(nèi),且直線AB與平面ACD所成角為60°,求AD的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:1(a>b>0),橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為9,最小值為1.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求橢圓C上的點(diǎn)到直線l:4x﹣5y+40=0的最小距離?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了了解學(xué)生對(duì)消防知識(shí)的了解情況,從高一年級(jí)和高二年級(jí)各選取100名同學(xué)進(jìn)行消防知識(shí)競賽.下圖(1)和圖(2)分別是對(duì)高一年級(jí)和高二年級(jí)參加競賽的學(xué)生成績按分組,得到的頻率分布直方圖.
(1)請(qǐng)計(jì)算高一年級(jí)和高二年級(jí)成績小于60分的人數(shù);
(2)完成下面列聯(lián)表,并回答:有多大的把握可以認(rèn)為“學(xué)生所在的年級(jí)與消防常識(shí)的了解存在相關(guān)性”?
成績小于60分人數(shù) | 成績不小于60分人數(shù) | 合計(jì) | |
高一 | |||
高二 | |||
合計(jì) |
附:臨界值表及參考公式:.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,長軸長為4,離心率為.過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)(均不與重合),記直線的斜率分別為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)是否存在常數(shù),當(dāng)直線變動(dòng)時(shí),總有成立?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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