Question

【題目】已知函數(shù)，其中為參數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；

（3）若對(duì)任意， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】試題分析：（1）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求切線的斜率，再運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式方程求解；（2）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，運(yùn)用分類整合的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行分析求解；（3）依據(jù)不等式恒成立的條件，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，結(jié)合分析推證的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行分析推證：

（1）

（2），定義域?yàn)?/span>

，設(shè)，

當(dāng)時(shí)， ，故，

所以在上為增函數(shù)，所以無極值點(diǎn).

②當(dāng)時(shí)， ，

若時(shí)， ，故，故在上遞增，所以無極值點(diǎn).

若時(shí)，設(shè)的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根為，且，

且，而，則，

所以當(dāng)單調(diào)遞增；

當(dāng)單調(diào)遞減；

當(dāng)單調(diào)遞增.

所以此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根為，且，

但，所以，

所以當(dāng)單調(diào)遞増；

當(dāng)單調(diào)遞減.

所以此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)。

綜上得：

當(dāng)時(shí)有一個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)的無極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 的有兩個(gè)極值點(diǎn).

（3）方法一：

當(dāng)時(shí)，由（2）知在上遞增，

所以，符合題意；

當(dāng)時(shí)， ， 在上遞增，所以，

符合題意；

當(dāng)時(shí)， ，所以函數(shù)在上遞減， 所以，

不符合題意；

當(dāng)時(shí)，由（1）知，于是

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)，不符合題意.

綜上所述， 的取值范圍是.

方法二： ，注意到對(duì)稱軸為， ，

當(dāng)時(shí)，可得，故在上遞增，所以，符合題意；

當(dāng)時(shí)， ，所以函數(shù)在上遞減， 此時(shí)，

不符合題意；

當(dāng)時(shí)，由（1）知，于是

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)，不符合題意.

綜上所述， 的取值范圍是.