Question

已知函數(shù)f（x）=log₂x，g（x）=x，q（x）=2^x．
（1）設(shè)m（x）=q（x）-g（x），n（x）=g（x）-f（x）．當(dāng)x＞1時(shí)，試比較m（x）與n（x）的大�。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)果）；
（2）設(shè)P是函數(shù)g（x）的圖象在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作平行于x軸、y軸的直線與函數(shù)q（x）和f（x）的圖象分別交于A點(diǎn)、B點(diǎn)，求證：|PA|=|PB|；
（3）設(shè)函數(shù)F（x）=f（|x-1|）+f（|x+2|），求函數(shù)F（x）在區(qū)間[-1，0]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=log₂x，g（x）=x，q（x）=2^x．m（x）=q（x）-g（x），n（x）=g（x）-f（x）．可得當(dāng)x＞1時(shí)，m（x）＞n（x）；
（2）根據(jù)P是函數(shù)g（x）的圖象在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t），進(jìn)而求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，及|PA|，|PB|，可得結(jié)論；
（3）F（x）=log₂|（x+

1

2

）²-

9

4

|，其中x∈[-1，0]，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）當(dāng)x＞1時(shí)，m（x）＞n（x）；
（2）∵P是函數(shù)g（x）的圖象在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t），
由t=2^x．得：x=log₂t，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（log₂t，t），
由log₂t=y，得B點(diǎn)坐標(biāo)為（t，log₂t）
∵|PA|=|t-log₂t|，|PB|=|t-log₂t|，
∴|PA|=|PB|．…（7分）
（3）F（x）=f（|x-1|）+f（|x+2|）=log₂|x-1|+log₂|x+2|=log₂|（x+

1

2

）²-

9

4

|，其中x∈[-1，0]．
∴當(dāng)x=-

1

2

時(shí)，f（x）_max=2log₂3-2，
當(dāng)x=-1或0時(shí)，f（x）_min=1．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是圖象和性質(zhì)的綜合考查，難度中檔．