Question

國(guó)家環(huán)保部于2012年發(fā)布了新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》，其中規(guī)定：居民區(qū)的PM2.5年平均濃度不得超過(guò)35微克/立方米，某城市環(huán)保部門隨機(jī)抽取了一居民區(qū)去年20天PM2.5的24小時(shí)平均濃度的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：
（0，25]，4天；（25，50]，10天；（50，75]，4天；（75，100），2天
（Ⅰ）從樣本中PM2.5的24小時(shí)平均濃度超過(guò)50微克/立方米的6天中，隨機(jī)抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小時(shí)平均濃度超過(guò)75微克/立方米的概率；
（Ⅱ）求樣本平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)？說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ） 設(shè)PM2.5的24小時(shí)平均濃度在（50，75]內(nèi)的4天記為A₁，A₂，A₃，A₄，PM2.5的24小時(shí)平均濃度在（75，100）內(nèi)的2天記為B₁，B₂．6天任取2天的基本事件空間含15個(gè)基本事件，其中符合條件的有有8個(gè)，由此能求出恰好有一天PM2.5的24小時(shí)平均濃度超過(guò)75微克/立方米的概率．
（Ⅱ）去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為42.5．（微克/立方米），因?yàn)?2.5＞35，所以去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，從而得到該居民區(qū)的環(huán)境需要改進(jìn)．

解答： 解：（Ⅰ） 設(shè)PM2.5的24小時(shí)平均濃度在（50，75]內(nèi)的4天記為A₁，A₂，A₃，A₄，
PM2.5的24小時(shí)平均濃度在（75，100）內(nèi)的2天記為B₁，B₂．
所以6天任取2天的基本事件空間Ω={A₁A₂，A₁A₃，A₁A₄，A₂A₃，
A₂A₄，A₃A₄，A₁B₁，A₁B₂，A₂B₁，A₂B₂，A₃B₁，A₃B₂，A₄B₁，A₄B₂，B₁B₂}，
共15種…（4分），
其中符合條件的有：
A₁B₁，A₁B₂，A₂B₁，A₂B₂，A₃B₁，A₄B₁，A₄B₂共8種．…（6分）
所以所求的概率P=

8

15

．…（8分）
（Ⅱ）去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為：
12.5×0.2+37•5×0.5+62.5×0.2+87.5×0.1=42.5．（微克/立方米）．…（10分）
因?yàn)?2.5＞35，所以去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，
故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進(jìn)．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法及其應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．