Question

已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)組成邊長(zhǎng)為5的菱形，橢圓的離心率為e=

4

5

．  
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)p是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，記p點(diǎn)到直線(xiàn)l：4x-5y+40=0的距離為d，求d的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）設(shè)橢圓方程為 

x2

a2

+

y2

b2

=1，運(yùn)用離心率公式，菱形的邊長(zhǎng)即長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，及a，b，c的關(guān)系，即可求出橢圓方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)l′的方程為：4x-5y+m=0，當(dāng)直線(xiàn)l′與橢圓相切時(shí)，d=

|m-40|

41

，由4x-5y+m=0及

x2

25

+

y2

9

=1，消去y，得到關(guān)于x的方程，運(yùn)用判別式為0，求出m，即可得到最值．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓方程為 

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∵a=5，

c

a

=

4

5

，b²=a²-c²，∴a=5，b=3，
故所求方程為 

x2

25

+

y2

9

=1；
（2）設(shè)直線(xiàn)l′的方程為：4x-5y+m=0，
當(dāng)直線(xiàn)l′與橢圓相切時(shí)，記切點(diǎn)p到l的距離為d，d=

|m-40|

41

，
由4x-5y+m=0及

x2

25

+

y2

9

=1，
消去y得9x²+（4x+m）²=9×25，即25x²+8mx+m²-225=0，
令△=64m²-4×25（m²-9×25）=0，則36m²=36×25²，m=±25，
當(dāng)m=25時(shí) 得d=

15

41

，當(dāng)m=-25時(shí) 得d=

65

41

故d的最大值為d=

65

41

，d的最小值為

15

41

．

點(diǎn)評(píng)：本題橢圓方程和性質(zhì)，主要是離心率的運(yùn)用，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，主要是相切，考查聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程，運(yùn)用判別式為0，考查兩平行直線(xiàn)的距離公式，屬于中檔題．