Question

如圖，設直線l：y=kx+

2

（k∈R）與拋物線C：y=x²相交于P，Q兩點，其中Q點在第一象限．
（1）若點M是線段PQ的中點，求點M到x軸距離的最小值；
（2）當k＞0時，過點Q作y軸的垂線交拋物線C于點R，若

PQ

•

PR

=0，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）把直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系，再利用中點坐標公式和二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出；
（2）利用數(shù)量積運算和根與系數(shù)的關系即可得出．

解答： 解：（1）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₀，y₀）．
由

y=kx+ 2 y=x2

消去y，整理得x2-kx-

2

=0，
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-

2

，
∴x0=

x1+x2

2

=

k

2

，y0=kx0+

2

=

k2

2

+

2

≥

2

∴點M到x軸距離的最小值為

2

．
（2）由題意得R（-x₂，y₂），
∴

PQ

•

PR

=(x2-x1，y2-y1)•(-x2-x1，y2-y1)=(x2-x1)(-x2-x1)+(y2-y1)2
=x12-x22+(y2-y1)2=y1-y2+(y2-y1)2=(y2-y1)(y2-y1-1)=0，
∵y₁≠y₂，
∴y₂-y₁=1，從而k（x₂-x₁）=1，故k2(x2-x1)2=1．
∴k2[(x2+x1)2-4x1x2]=1，k2(k2+4

2

)=1．
解得k2=3-2

2

=(

2

-1)2（負根舍去），
∵k＞0，∴k=

2

-1，
∴直線l的方程為y=(

2

-1)x+

2

．

點評：本題考查了直線與拋物線相交問題轉化為方程聯(lián)立得到關于x的一元二次方程及其根與系數(shù)的關系、中點坐標公式和二次函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)量積運算等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．