Question

已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P是該雙曲線和圓x²+y²=a²+b²的一個(gè)交點(diǎn)，若sin∠PF₁F₂=2sin∠PF₂F₁，則該雙曲線的離心率是（　�。�

• A、

  10

  4

• B、

  5

• C、

  10

• D、

  10

  2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：

分析：由已知條件推導(dǎo)出△PF₁F₂中，|OP|=c=

1

2

|F₁F₂|，∠F₁PF₂=90°，|PF₁|=2a，|PF₂|=4a，由此能求出雙曲線的離心率．

解答： 解：∵F₁，F(xiàn)₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，
∴雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-c，0）、F₂（c，0），其中c=

a2+b2

，
∵圓方程為x²+y²=a²+b²，即x²+y²=c²，
∴該半徑等于c，且圓經(jīng)過F₁和F₂，
∵點(diǎn)P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1與圓x²+y²=a²+b²的交點(diǎn)，
∴△PF₁F₂中，|OP|=c=

1

2

|F₁F₂|，∴∠F₁PF₂=90°，
∵sin∠PF₁F₂=2sin∠PF₂F₁，
∴

|PF2|

2c

=

2|PF1|

2c

，∴|PF₂|=2|PF₁|．
設(shè)|PF₁|=x，則|PF₂|=2x，
由雙曲線性質(zhì)得2x-x=x=2a，
∴|PF₁|=2a，則|PF₂|=4a，
由勾股定理得（2a）²+（4a）²=（2c）²，
解得c=

5

a，
∴e=

c

a

=

5

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的離心率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線簡單性質(zhì)的靈活運(yùn)用．