【題目】正四棱錐P﹣ABCD的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為2,過點(diǎn)A作一個(gè)與側(cè)棱PC垂直的平面α,則平面α被此正四棱錐所截的截面面積為_____,平面α將此正四棱錐分成的兩部分體積的比值為_____.

【答案】 （或2）

【解析】

由已知得△PAC為正三角形,取PC的中點(diǎn)G,得AG⊥PC,且AG.然后證明AG⊥EF,且求得AG與EF的長(zhǎng)度,可得截面四邊形的面積；再求出四棱錐P﹣AEGF的體積與原正四棱錐的體積,則平面α將此正四棱錐分成的兩部分體積的比值可求.

解：如圖,

在正四棱錐P﹣ABCD中,由底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為,

可得△PAC為正三角形,取PC的中點(diǎn)G,得AG⊥PC,且AG.

設(shè)過AG與PC垂直的平面交PB于E,交PD于F,連接EF,

則EG⊥PC,FG⊥PC,可得Rt△PGE≌Rt△PGF,得GE＝GF,PE＝PF,

在△PAE與△PAF中,由PA＝PA,PE＝PF,∠APE＝∠APF,得AE＝AF.

∴AG⊥EF.

在等腰三角形PBC中,由PB＝PC＝2,BC＝2,得cos∠BPC,

則在Rt△PGE中,得.

同理PF,則EF∥DB,得到.

∴；

則.

又,

∴平面α將此正四棱錐分成的上下兩部分體積的比為.

故答案為：；（或2）.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝axex，g（x）＝x2+2x+b，若曲線y＝f（x）與曲線y＝g（x）都過點(diǎn)P（1，c）．且在點(diǎn)P處有相同的切線l．

（Ⅰ）求切線l的方程；

（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式k[ef（x）]≥g（x）對(duì)任意x∈[﹣1，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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【題目】已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且．當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡記為曲．

（Ⅰ）求曲線的軌跡方程；

（Ⅱ）過曲線上一點(diǎn)，作圓的切線，交曲線于兩點(diǎn)，若直線垂直于直線，求的面積．

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【題目】新型冠狀病毒屬于屬的冠狀病毒，人群普遍易感，病毒感染者一般有發(fā)熱咳嗽等臨床表現(xiàn)，現(xiàn)階段也出現(xiàn)無癥狀感染者.基于目前的流行病學(xué)調(diào)查和研究結(jié)果，病毒潛伏期一般為1-14天，大多數(shù)為3-7天.為及時(shí)有效遏制病毒擴(kuò)散和蔓延，減少新型冠狀病毒感染對(duì)公眾健康造成的危害，需要對(duì)與確診新冠肺炎病人接觸過的人員進(jìn)行檢查.某地區(qū)對(duì)與確診患者有接觸史的1000名人員進(jìn)行檢查，檢查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：

發(fā)熱且咳嗽

發(fā)熱不咳嗽

咳嗽不發(fā)熱

不發(fā)熱也不咳嗽

確診患病

200

150

80

30

確診未患病

150

150

120

120

（1）能否在犯錯(cuò)率不超過0.001的情況下，認(rèn)為新冠肺炎密切接觸者有發(fā)熱癥狀與最終確診患病有關(guān).

臨界值表：

0.10

0.05

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

6.645

7.879

10.828

（2）在全國(guó)人民的共同努力下，尤其是全體醫(yī)護(hù)人員的辛勤付出下，我國(guó)的疫情得到較好控制，現(xiàn)階段防控重難點(diǎn)主要在境外輸入病例和無癥狀感染者（即無相關(guān)臨床表現(xiàn)但核酸檢測(cè)或血清特異性免疫球蛋白M抗體檢測(cè)陽(yáng)者）.根據(jù)防控要求，無癥狀感染者雖然還沒有最終確診患2019新冠肺炎，但與其密切接觸者仍然應(yīng)當(dāng)采取居家隔離醫(yī)學(xué)觀察14天，已知某人曾與無癥狀感染者密切接觸，而且在家已經(jīng)居家隔離10天未有臨床癥狀，若該人員居家隔離第天出現(xiàn)臨床癥狀的概率為，，兩天之間是否出現(xiàn)臨床癥狀互不影響，而且一旦出現(xiàn)臨床癥狀立刻送往醫(yī)院核酸檢查并采取必要治療，若14天內(nèi)未出現(xiàn)臨床癥狀則可以解除居家隔離，求該人員在家隔離的天數(shù)（含有臨床癥狀表現(xiàn)的當(dāng)天）的分布列以及數(shù)學(xué)期望值.（保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）

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【題目】如圖，在四棱錐中，平面，正方形邊長(zhǎng)為2，是的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求證：直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)度；

（3）若，線段上是否存在一點(diǎn)，使平面，若存在求的長(zhǎng)度，若不存在則說明.

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【題目】如圖，在正方體中，P，Q，M，N，H，R是各條棱的中點(diǎn).

①直線平面；②；③P，Q，H，R四點(diǎn)共面；④平面.其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）

A.1B.2C.3D.4

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【題目】已知四邊形是邊長(zhǎng)為5的菱形，對(duì)角線（如圖1），現(xiàn)以為折痕將菱形折起，使點(diǎn)達(dá)到點(diǎn)的位置，棱，的中點(diǎn)分為，，且四面體的外接球球心落在四面體內(nèi)部（如圖2），則線段長(zhǎng)度的取值范圍為________．

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【題目】如圖，已知平行四邊形中，，，為邊的中點(diǎn)，將沿直線翻折成.若為線段的中點(diǎn).

（1）證明平面，并求的長(zhǎng)；

（2）在翻折過程中，當(dāng)三棱錐的體積取最大時(shí)，求平面與平面所成的二面角的余弦值.

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