【題目】如圖，在四棱錐中，平面，正方形邊長(zhǎng)為2，是的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求證：直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)度；

（3）若，線段上是否存在一點(diǎn)，使平面，若存在求的長(zhǎng)度，若不存在則說(shuō)明.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析，2或4；（3）存在，

【解析】

（1）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出，平面法向量，利用，即可證出.

（2）求出平面法向量，，由，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.

（3）假設(shè)存在，設(shè)，由（1）平面法向量，，由向量共線可得，解方程即可求解.

（1）由平面，平面，所以，

因?yàn)?/span>為正方形，所以，

又，

所以平面.

如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系

，，，，

，

設(shè)平面法向量為

，

令，

，平面，平面

（2）設(shè)平面法向量為，

，，

，令，，

，設(shè)直線與平面所成角為

解得或4，所以長(zhǎng)為或4

（3）存在，，，，，

，，，

解得，.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和Sn滿足4Sn＝an2+2an，n∈N*.設(shè)bn＝（﹣1）nanan+1，Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，則T2n＝_____.

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（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q.

（i）證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；

（ii）當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo).

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【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).

（1）求的取值范圍.

（2）求的極大值與極小值之和的取值范圍.

（3）若，則是否有最小值？若有，求出最小值；若沒(méi)有，說(shuō)明理由.

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【題目】已知為拋物線上的一點(diǎn)，，為拋物線上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù).

（1）求直線的斜率；

（2）設(shè)直線過(guò)點(diǎn)并交拋物線于，兩點(diǎn)，且，直線與軸交于點(diǎn)，試探究與的夾角是否為定值，若是則求出定值，若不是，說(shuō)明理由.

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【題目】正四棱錐P﹣ABCD的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為2,過(guò)點(diǎn)A作一個(gè)與側(cè)棱PC垂直的平面α,則平面α被此正四棱錐所截的截面面積為_____,平面α將此正四棱錐分成的兩部分體積的比值為_____.

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【題目】已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（，0），（，0），動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足直線AM和BM的斜率之積為﹣3，記M的軌跡為曲線E．

（1）求曲線E的方程；

（2）直線y＝kx+m與曲線E相交于P，Q兩點(diǎn)，若曲線E上存在點(diǎn)R，使得四邊形OPRQ為平行四邊形（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m的取值范圍．

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【題目】2020年是我國(guó)垃圾分類逐步凸顯效果關(guān)鍵的一年.在國(guó)家高度重視，重拳出擊的前提下，高強(qiáng)度、高頻率的宣傳教育能有效縮短我國(guó)生活垃圾分類走入世界前列所需的時(shí)間，打好垃圾分類這場(chǎng)“持久戰(zhàn)”，“全民戰(zhàn)”.某市做了一項(xiàng)調(diào)查，在一所城市中學(xué)和一所縣城中學(xué)隨機(jī)各抽取15名學(xué)生，對(duì)垃圾分類知識(shí)進(jìn)行問(wèn)答，滿分為100分，他們所得成績(jī)?nèi)缦拢?/span>

城市中學(xué)學(xué)生成績(jī)分別為：73 71 83 86 92 70 88 93 73 97 87 88 74 86 85

縣城中學(xué)學(xué)生成績(jī)分別為：60 64 71 91 60 76 72 85 81 72 62 74 73 63 72

（1）根據(jù)上述兩組數(shù)據(jù)在圖中完成兩所中學(xué)學(xué)生成績(jī)的莖葉圖，并通過(guò)莖葉圖比較兩所中學(xué)學(xué)生成績(jī)的平均分及分散程度；（不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）

（2）從城市中學(xué)成績(jī)?cè)?/span>80分以上的學(xué)生中抽取4名，記這4名學(xué)生的成績(jī)?cè)?/span>90分以上的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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每周喝酒量（兩）

人數(shù)

100

300

450

100

規(guī)定：①每周喝酒量達(dá)到4兩的叫常喝酒人，反之叫不常喝酒人；

②每周喝酒量達(dá)到8兩的叫有酒癮的人.

（1）求值，從每周喝酒量達(dá)到6兩的人中按照分層抽樣選出6人，再?gòu)倪@6人中選出2人，求這2人中無(wú)有酒癮的人的概率；

（2）請(qǐng)通過(guò)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，填寫完下面的列聯(lián)表，并通過(guò)計(jì)算判斷是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下認(rèn)為是否得病與是否常喝酒有關(guān)？并對(duì)民間流傳的說(shuō)法做出你的判斷.

常喝酒

不常喝酒

合計(jì)

得病

不得病

250

650

合計(jì)

參考公式：，其中

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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