Question

已知x=3是函數(shù)f（x）=alnx+x²-10x的一個極值點．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（3）若直線y=b與y=f（x）圖象有3個交點，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出導數(shù)，由極值點，可得f′（3）=0，解方程，即可得到a；
（2）求出導數(shù)，令導數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，得減區(qū)間，注意定義域；
（3）求出極值，由題意可得，b介于極小值和極大值之間．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=alnx+x²-10x的導數(shù)為f′（x）=

a

x

+2x-10，
由于x=3是函數(shù)f（x）=alnx+x²-10x的一個極值點，
則f′（3）=0，即

a

3

+6-10=0，解得，a=12；
（2）f（x）的導數(shù)為f′（x）=

12

x

+2x-10=

2

x

（（x-2）（x-3）（x＞0），
令f′（x）＞0，解得，x＞3或0＜x＜2，f（x）遞增；
令f′（x）＜0，解得，2＜x＜3，f（x）遞減．
則f（x）的單調減區(qū)間為（2，3），單調增區(qū)間為（0，2），（3，+∞）；
（3）由于f（x）在（0，2）和（3，+∞）內單調遞增，
在（2，3）內單調遞減，
則f（x）在x=2處取得極大值，且為12ln2-16，
在x=3處取得極小值，且為12ln3-21，
由于直線y=b與y=f（x）圖象有3個交點，
則b介于極小值和極大值之間，即為
12ln3-21＜b＜12ln2-16．
故b的取值范圍是（12ln3-21，12ln2-16）．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求單調區(qū)間和求極值，考查運算能力，屬于中檔題．