Question

13．已知f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，f₁（x）=f′（x），f₂（x）=[f₁（x）]′，…，f_n+1（x）=[f_n（x）]′，n∈N^*，經(jīng)計(jì)算：f₁（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，f₂（x）=$\frac{x-2}{{e}^{x}}$，f₃（x）=$\frac{3-x}{{e}^{x}}$，…，照此規(guī)律f₂₀₁₅（x）=$\frac{2015-x}{{e}^{x}}$．

Answer 1

分析 由已知中定義f₁（x）=f′（x），f₂（x）=[f₁（x）]′，…，f_n+1（x）=[f_n（x）]′，n∈N^*．結(jié)合f₁（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，f₂（x）=$\frac{x-2}{{e}^{x}}$，f₃（x）=$\frac{3-x}{{e}^{x}}$，…，分析出f_n（x）解析式隨n變化的規(guī)律，可得答案．

解答 解：∵f₁（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$=$\frac{（-1）^{1}（x-1）}{{e}^{x}}$，f₂（x）=$\frac{x-2}{{e}^{x}}$=$\frac{（-1）^{2}（x-2）}{{e}^{x}}$，f₃（x）=$\frac{3-x}{{e}^{x}}$=$\frac{（-1）^{3}（x-3）}{{e}^{x}}$，…，
由此歸納可得：f_n（x）=$\frac{（-1）^{n}（x-n）}{{e}^{x}}$；
所以f₂₀₁₅（x）=$\frac{2015-x}{{e}^{x}}$；
故答案為：.$\frac{2015-x}{{e}^{x}}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)求導(dǎo)以及歸納推理；歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．