Question

20．已知正方形OABC的邊長(zhǎng)為a，D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，則cos∠DOE=$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖象并由勾股定理求出OD、OE，利用向量的加法法則得：$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CE}$，由向量數(shù)量積運(yùn)算和垂直的條件，求出$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OE}$和cos∠DOE的值．

解答 解：如右圖：AO=AB=a，AD=CE=$\frac{a}{2}$，且OA⊥AB，
∴OD=OE=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}a}{2}$，
∵$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CE}$，
∴$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OE}$=（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CE}$）
=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{CE}$+$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CE}$
=0+a×$\frac{a}{2}$+$\frac{a}{2}$×a+0=a²，
∴cos∠DOE=$\frac{\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OE}}{|\overrightarrow{OD}||\overrightarrow{OE}|}$=$\frac{{a}^{2}}{\frac{\sqrt{5}a}{2}×\frac{\sqrt{5}a}{2}}$=$\frac{4}{5}$，
故答案為：$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求角的余弦值，向量垂直的條件，以及向量的加法法則，屬于中檔題．