Question

5．已知點(diǎn)M（1，1）是拋物線C上的一點(diǎn)，其焦點(diǎn)F在x軸上，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動弦MP、MQ分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，且MA=MB
（1）求拋物線C的方程；
（2）求過F且與OM垂直的直線的方程；
（3）求直線PQ的斜率．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的方程為y²=2px（p＞0），代入M的坐標(biāo)，即可得到求得拋物線的方程；
（2）求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求得OM的斜率，由兩直線垂直的條件，可得所求直線的斜率，即可得到所求直線的方程；
（3）設(shè)P（y₁²，y₁），Q（y₂²，y₂），由條件可得△MAB為等腰三角形，即有直線MP，MQ斜率互為相反數(shù)，運(yùn)用直線的斜率公式，化簡整理計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的方程為y²=2px（p＞0），
代入M（1，1），即1=2p，
則拋物線的方程為y²=x；
（2）拋物線y²=x的焦點(diǎn)F（$\frac{1}{4}$，0），
k_OM=1，
過F且與OM垂直的直線的斜率k=-1，
即有所求直線為y=$\frac{1}{4}$-x；
（3）設(shè)P（y₁²，y₁），Q（y₂²，y₂），
由動弦MP、MQ分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，且MA=MB，
△MAB為等腰三角形，即有直線MP，MQ斜率互為相反數(shù)，
即$\frac{{y}_{1}-1}{{{y}_{1}}^{2}-1}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{{y}_{2}}^{2}-1}$=0，
化簡可得$\frac{1}{{y}_{1}+1}$+$\frac{1}{{y}_{2}+1}$=0，
則y₁+y₂=-2，
即有PQ的斜率為$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}$=$\frac{1}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查方程的求法和運(yùn)用，同時(shí)考查兩直線的位置關(guān)系，以及斜率公式的運(yùn)用，考查化簡整理能力，屬于中檔題．