Question

已知函數(shù)f（x）=x-xlnx，g（x）=f（x）-xf′（a），其中f′（a）表示函數(shù)f（x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)，a為正常數(shù)，且
（1）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對任意的正實數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，證明：（x₂-x₁）f′（x₂）＜f（x₂）-f（x₁）＜（x₂-x₁）f′（x₁）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的定義域，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)一步將f′（a）表示出來，代入g（x），再進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性；
（2）根據(jù)第一問的結(jié)果，結(jié)論可化為f′(x2)＜

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜f′(x1)，從而利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性完成證明．

解答： 解：（1）由已知得f′（x）=-lnx，所以g（x）=x-xlnx+xlna
則由已知得g′(x)=f′(x)-f′(a)=-lnx+lna=ln

a

x

所以x∈（0，a）時，0＜

a

x

＜1，所以此時g′（x）＞0，
所以g（x）在（0，a）上單調(diào)遞增，同理可判斷當(dāng)x∈（a，+∞）時，g（x）遞減，
故函數(shù)g（x）的遞增區(qū)間為（0，a），遞減區(qū)間為（a，+∞）．
（2）對任意的正實數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，
要證（x₂-x₁）f′（x₂）＜f（x₂）-f（x₁）＜（x₂-x₁）f′（x₁）成立，結(jié)合x₁＜x₂
只需證f′(x2)＜

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜f′(x1)
顯然

f(x2)-f(x1)

x2-x1

表示的是點(diǎn)（x₁，f（x₁））與（x₂，f（x₂））連線的斜率，
則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，在區(qū)間（x₁，x₂）上必存在點(diǎn)（x₀，f（x₀））一條切線平行于該割線，
即f′（x₀）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

，由（1）知f′（x）=-lnx在[x₁，x₂]上遞減，
所以f′（x₂）＜f′（x₀）＜f′（x₁）
即（x₂-x₁）f′（x₂）＜f（x₂）-f（x₁）＜（x₂-x₁）f′（x₁）．證畢．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，第二問充分利用了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、割線與切線的間的關(guān)系完成了證明，充分體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)幾何意義的本質(zhì)．