Question

下列四個命題
①已知函數(shù)f（x+1）=x²，則f（e）=（e-1）²；
②函數(shù)f（x）的值域為（-2，2），則函數(shù)f（x+2）的值域為（-4，0）；
③函數(shù)y=2x（x∈N）的圖象是一直線；
④已知f（x）、g（x）是定義在R上的兩個函數(shù)，對任意x、y∈R滿足關(guān)系式f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•g（y），且f（0）=0，但x≠0時f（x）•g（x）≠0則函數(shù)f（x）、g（x）都是奇函數(shù)．
其中錯誤的命題是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,函數(shù)解析式的求解及常用方法,抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：①利用賦值法，令x+1=e，則f（e）=（e-1）²，故可判斷
②函數(shù)f（x+2）看作f（x）向左平移2個單位得到的，圖象上下沒有平移，所以值域不變，即可判斷．
③中函數(shù)的圖象是孤立的點即可判斷
④分別判斷f（x），g（x）的奇偶性，即可判斷．

解答： 解：對于①已知函數(shù)f（x+1）=x²，令x+1=e，則f（e）=（e-1）²，故正確．
對于②函數(shù)f（x）的值域為（-2，2），函數(shù)f（x+2）看作f（x）向左平移2個單位得到的，圖象上下沒有平移，值域是函數(shù)值的取值范圍，所以值域不變．故錯誤．
對于③函數(shù)y=2x（x∈N）的圖象是一些孤立的點，故錯誤，
對于④令x=0，有f（-y）+f（y）=0，f（-y）=-f（y）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∵x≠0時，f（x）•g（x）≠0，
∴g（-y）=

f(x+y)+f(x-y)

2f(x)

=g（y），
∴函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，故錯誤．
故答案為：②③④．

點評：考查抽象函數(shù)及其應用，解決抽象函數(shù)的問題一般應用賦值法，難點在于綜合考察函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，值域，屬于中檔題．