已知圓x2+y2－2x－2y+1=0，點A(2a，0)，B(0，2b)且a>1，b>1。

(1)若圓與直線AB相切時，求AB中點的軌跡方程。

　　(2)若圓與AB相切時，且△AOB面積最小，求直線AB的方程及面積最小值。

 

答案：
解析：

如圖:(1)設(shè)AB的中點M(x1，y1)，

∴x1=，y1=，

直線AB：bx+ay+2ab=0，

∵AB與圓相切，∴d=r，即，

化簡得：2a+2b－2ab－1=0，

∴AB的中點軌跡方程為：2x1+2y1－2x1y1－1=0，x1>1，y1>1。

(2)設(shè)△AOB面積為S，則S=2ab=2a+2b－1=2(a+b)－1≥－1

=4－1S－+1≥0≤(舍)或+1，

∴S≥(+1)2=3+，

當且僅當a=b時等號成立，代入(1)式得：2a2－4a+1=0a=1±，∴a=1+，

   ∴ 直線AB的方程：x+y－2－=0。

 


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