Question

12．定義在D上的函數(shù)f（x）若同時(shí)滿足：①存在M＞0，使得對(duì)任意的x₁，x₂∈D，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜M；②f（x）的圖象存在對(duì)稱中心．則稱f（x）為“P-函數(shù)”．
已知函數(shù)f₁（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$和f₂（x）=lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x），則以下結(jié)論一定正確的是（　�。�

• A． f₁（x）和 f₂（x）都是P-函數(shù)
• B． f₁（x）是P-函數(shù)，f₂（x）不是P-函數(shù)
• C． f₁（x）不是P-函數(shù)，f₂（x）是P-函數(shù)
• D． f₁（x）和 f₂（x）都不是P-函數(shù)

Answer 1

分析 對(duì)于函數(shù)${f_1}（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，定義域?yàn)镽，由2^x＞0，可得f₁（x）∈（-1，1），滿足①，又f₁（-x）=-f₁（x），函數(shù)f₁（x）是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，即可判斷出結(jié)論．同理即可判斷出f₂（x）是否是“P-函數(shù)”．

解答 解：①存在M＞0，使得對(duì)任意的x₁，x₂∈D，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜M?函數(shù)f（x）在D上是“有界函數(shù)”．
對(duì)于函數(shù)${f_1}（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，定義域?yàn)镽，∵2^x＞0，∴0＜$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜1，∴f₁（x）∈（-1，1），∴滿足①，又f₁（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=-$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=-f₁（x），∴函數(shù)f₁（x）是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱．∴f₁（x）是“P-函數(shù)”．
${f_2}（x）=lg（\sqrt{{x^2}+1}-x）$，定義域?yàn)镽，令x=tanα$（α∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}））$，則f₂（x）=lg$（\frac{1}{cosα}-tanα）$=lg$\frac{1-sinα}{cosα}$，∵$\frac{1-sinα}{cosα}$∈（0，+∞），∴f₂（x）不滿足①，因此，f₂（x）不是“P-函數(shù)”．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的有界性、奇偶性、新定義函數(shù)、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．