Question

17．已知x+$\frac{1}{x}$=2cosθ，計算x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$，x³+$\frac{1}{{x}^{3}}$．并由計算的結(jié)果猜想xⁿ+$\frac{1}{{x}^{n}}$的表達(dá)式．

Answer 1

分析 先求出前四項，猜測$x^n+\frac{1}{x^n}$=2cosnθ，再用數(shù)學(xué)歸納法證明猜測的正確性．

解答 解：因為$x+\frac{1}{x}$=2cosθ，所以可得如下各項：
$x^2+\frac{1}{x^2}$=4cos²θ-2=2（2cos²θ-1）=2cos2θ，
$x^3+\frac{1}{x^3}$=（$x+\frac{1}{x}$）（$x^2+\frac{1}{x^2}$）-（$x+\frac{1}{x}$）=2cos3θ，
$x^4+\frac{1}{x^4}$=（$x^2+\frac{1}{x^2}$）²-2=4cos²2θ-2=2（2cos²2θ-1）=2cos4θ，
…
可猜想：$x^n+\frac{1}{x^n}$=2cosnθ，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜測的正確性．
①當(dāng)k=1，$x+\frac{1}{x}$=2cosθ，猜測成立；
②假設(shè)k=n時猜測成立，即$x^n+\frac{1}{x^n}$=2cosnθ，
那么，當(dāng)k=n+1時，
${x}^{n+1}+\frac{1}{{x}^{n+1}}$=（$x+\frac{1}{x}$）（$x^n+\frac{1}{x^n}$）-（${x}^{n-1}+\frac{1}{{x}^{n-1}}$）
=2cosθ•2cosnθ-2cos（n-1）θ
=2[2cosθ•cosnθ-cos（n-1）θ]
=2[cos（n+1）θ+cos（n-1）θ-cos（n-1）θ]
=2cos（n+1）θ，
即k=n+1時，猜想也成立，
綜合以上討論得，對任意的正整數(shù)n都有$x^n+\frac{1}{x^n}$=2cosnθ成立．

點評 本題主要考查了歸納推理，以及運用數(shù)學(xué)歸納法證明猜測的正確性，屬于中檔題．