Question

13．已知冪函數(shù)f（x）的圖象過點（$\sqrt{2}$，2），冪函數(shù)g（x）的圖象經(jīng)過點（2，$\frac{1}{4}$）
（1）求f（x），g（x）的解析式；
（2）當x為何值時，①f（x）＞g（x）；②f（x）=g（x）；③f（x）＜g（x）？

Answer 1

分析 （1）設出冪函數(shù)的解析式，利用待定系數(shù)法求出f（x）、g（x）的解析式；
（2）令f（x）＞g（x）、f（x）=g（x）與f（x）＜g（x），分別求出x的取值范圍．

解答 解：（1）設冪函數(shù)f（x）=x^α，
其圖象過點（$\sqrt{2}$，2），
即${（\sqrt{2}）}^{α}$=2，解得α=2，
∴f（x）=x²；
同理，冪函數(shù)g（x）的圖象過點（2，$\frac{1}{4}$），
∴g（x）=x^-2，（x≠0）；
（2）①當f（x）＞g（x）時，x²＞x^-2，
即x⁴＞1，解得x＞1或x＜-1，
∴當x＜-1或x＞1時，f（x）＞g（x）；
②當f（x）=g（x）時，x²=x^-2，解得x=±1，
∴當x=±1時，f（x）=g（x）；
③當f（x）＜g（x）時，x²＜x^-2，解得-1＜x＜1，且x≠0；
∴當-1＜x＜1且x≠0時，f（x）＜g（x）．

點評 本題考查了冪函數(shù)的圖象與性質的應用問題，也考查了不等式的解法與應用問題，是基礎題目．