Question

13．已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為DD₁的中點，N在AC上，且AN：NC=2：1，E為BM的中點．求證：A₁，E，N三點共線．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明A₁，E，N三點共線．

解答 證明：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
設(shè)AD=a，AB=2，AA₁=c，
則A（a，0，0），N（$\frac{1}{3}a$，$\frac{2}{3}b$，0），B（a．b.0），M（0，0，$\frac{1}{2}c$），
E（$\frac{1}{2}a$，$\frac{1}{2}b$，$\frac{1}{4}c$），A₁（a，0，c），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（-$\frac{1}{2}a$，$\frac{1}{2}b$，-$\frac{3}{4}c$），$\overrightarrow{{A}_{1}N}$=（-$\frac{2}{3}a$，$\frac{2}{3}b$，-c），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=$\frac{3}{4}\overrightarrow{{A}_{1}N}$，
∵$\overrightarrow{{A}_{1}E}$與$\overrightarrow{{A}_{1}N}$有公共點A₁，
∴A₁，E，N三點共線．

點評 本題考查三點共線的證明，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．